Clase 1

Ejercicio 1:

Demostrar que si \(x^*\) es un mínimo local estricto no singular de una función \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) dos veces continuamente diferenciable, entonces \(x^*\) es un punto estacionario aislado; es decir, existe una bola centrada en \(x^*\) tal que \(x^*\) es el único punto estacionario de \(f\) dentro de esa bola.
Utilizar la siguiente función de ejemplo \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) para demostrar que esto no tiene por qué ser cierto si \(x^*\) es un mínimo local estricto singular: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 \left(\sqrt{2} - \sin \left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \ln(x^2) \right) \right) & \text{si } x \neq 0, \\ 0 & \text{si } x = 0. \end{cases} \]

Solución:

Ejercicio 2:

Un mínimo local sin restricciones \(x^*\) de una función \(f\) se dice localmente estable si existe \(\delta >0\) tal que cualquier sucesión \(\{x^k \}\) con \[f(x^k) \to f(x^*), \quad \| x^k - x^* \| < \delta, \quad \forall k \ge 0 \] converge a \(x^*\). Muestrar que \(x^*\) es localmente estable si y solo si \(x^*\) es un mínimo local estricto, es decir, si existe un entorno \(U\) de \(x^*\) tal que para todo \(x \in U\), con \(x\ne x^*\), se tiene \(f(x^*) < f(x)\).